【人教版】คณิตศาสตร์มัธยมปลาย เล่มบังคับ 2 (ฉบับ A): มุ่งมั่นไม่เปลี่ยนแปลง: จากเวกเตอร์ทางฟิสิกส์สู่การแสดงเชิงเรขาคณิตของเวกเตอร์ในระนาบ

ในทางฟิสิกส์ เรามักพบปริมาณ诸如 การกระจัด แรง ความเร็ว ซึ่งไม่เพียงมีขนาด แต่ยังมีทิศทางด้วย ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทางว่าเวกเตอร์ (vector) ส่วนปริมาณที่มีเพียงขนาดแต่ไม่มีทิศทาง (เช่น มวล เวลา ความยาว) เรียกว่าสเกลาร์ (ในทางฟิสิกส์เรียกว่าปริมาณสเกลาร์)

การแสดงเชิงเรขาคณิตและแนวคิดพื้นฐานของเวกเตอร์

เพื่อศึกษเวกเตอร์อย่างเป็นรูปธรรม เราใช้ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง นั่นคือส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง (directed line segment) ในการแสดงเวกเตอร์ ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางประกอบด้วยสามองค์ประกอบ: จุดเริ่มต้น ทิศทาง และความยาว

ความยาวของเวกเตอร์: ขนาดของเวกเตอร์ $\vec{AB}$ เรียกว่าความยาวของเวกเตอร์ (หรือเรียกว่านอร์ม) เขียนแทนด้วย $|\vec{AB}|$
เวกเตอร์พิเศษ: เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็น 0 เรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) เขียนแทนด้วย $\mathbf{0}$; เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 หน่วย เรียกว่าเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector)
ความสัมพันธ์เชิงตำแหน่ง: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ที่มีทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้าม เรียกว่าเวกเตอร์ขนาน (parallel vectors) หรือเรียกอีกชื่อว่าเวกเตอร์ร่วมเส้น (collinear vectors) โดยกำหนดว่า $\mathbf{0}$ ขนานกับเวกเตอร์ใด ๆ

แก่นสำคัญของเวกเตอร์อยู่ที่ "การหลุดพ้นจากข้อจำกัดของตำแหน่ง" ตราบใดที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ไม่ว่าจุดเริ่มต้นจะอยู่ที่ใด พวกมันล้วนเป็นเวกเตอร์ที่เท่ากัน

$$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \iff |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| \text{ และมีทิศทางเดียวกัน}$$

คำถามข้อ 1

ในทางฟิสิกส์มักเรียกเวกเตอร์ว่าปริมาณเวกเตอร์ และเรียกสเกลาร์ว่าปริมาณสเกลาร์ ปริมาณต่อไปนี้ใดบ้างที่เป็นเวกเตอร์?

แรงดึง แรงเสียดทาน และความเร่งที่กระทำต่อวัตถุที่แขวนอยู่

ความดัน ความถี่ มวล

อุณหภูมิ ระดับความสูง ความหนาแน่น

งาน กำลัง พลังงานจลน์

คำถามข้อ 2

ข้อความต่อไปนี้เกี่ยวกับเวกเตอร์ศูนย์ ข้อใดถูกต้อง:

เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง

เวกเตอร์ศูนย์มีความยาวเป็น 0 และมีทิศทางใดก็ได้

เวกเตอร์ศูนย์ไม่ขนานกับเวกเตอร์ใด ๆ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทั้งหมดเท่ากัน

คำถามข้อ 3

จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่: (1) ถ้า $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$ แล้ว $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$; (2) เวกเตอร์ที่มีทิศทางใต้ค่อนไปทางตะวันตก $60^{\circ}$ กับเวกเตอร์ที่มีทิศทางเหนือค่อนไปทางตะวันออก $60^{\circ}$ เป็นเวกเตอร์ร่วมเส้น

(1) ผิด, (2) ถูก

(1) ถูก, (2) ผิด

ทั้งสองถูกต้อง

ทั้งสองผิด

คำถามข้อ 4

กำหนดให้ $\boldsymbol{a}$ และ $\boldsymbol{b}$ ต่างก็เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ข้อสรุปต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง:

$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$

$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$

$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$

$|\boldsymbol{a}|^2 = \boldsymbol{b}$

คำถามข้อ 5

ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $AB = 2, BC = 1$ โดย $M, N$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB, CD$ ตามลำดับ ในบรรดาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็น $A, B, C, D, M, N$ มีเวกเตอร์ที่เท่ากับ $\vec{AM}$ ทั้งหมดกี่เวกเตอร์?

1 เวกเตอร์

2 เวกเตอร์

3 เวกเตอร์

4 เวกเตอร์

คำถามข้อ 6

ตัวอย่างที่ 1: ในรูป 6.1-4 มาตราส่วนคือ 1:8,000,000 ถ้าบนแผนที่ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางจาก A ไป B มีความยาว 2 ซม. ระยะการกระจัดจริงจะเป็นเท่าใด:

16 กม.

160 กม.

80 กม.

1600 กม.

คำถามข้อ 7

ถ้าเวกเตอร์สองตัว $\boldsymbol{a}$ และ $\boldsymbol{b}$ สอดคล้องกับ $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$ แล้ว:

จุดสิ้นสุดของพวกมันต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกันแน่นอน

พวกมันต้องมีทิศทางเดียวกันแน่นอน

พวกมันมีทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้าม

ความยาวของพวกมันต้องเท่ากันแน่นอน

คำถามข้อ 8

จงบอกความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวในรูป (ด้านของช่องตารางเล็กเท่ากับ 0.5) ถ้าเวกเตอร์ $\vec{v}$ ครอบคลุม 4 ช่องตาราง (ในแนวนอน) นอร์มของมันจะเป็น:

0.5

คำถามข้อ 9

จงพิจารณา: แกน $x$ บนระนาบพิกัดฉากเป็นเวกเตอร์หรือไม่?

ใช่ เพราะมันมีทิศทาง

ไม่ใช่ เพราะมันมีเพียงทิศทางแต่ไม่มีความยาวที่แน่นอน (มันคือเส้นตรง)

ท้าทาย: เครือข่ายเวกเตอร์ในรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า

เข้าใจเวกเตอร์ที่เท่ากันและเวกเตอร์ร่วมเส้นอย่างลึกซึ้ง

ดังรูป 6.1-8 กำหนดให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า $ABCDEF$ โดยทราบว่าความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมนี้เท่ากับ 1 หน่วย

1. จงเขียนเวกเตอร์ที่เท่ากับ $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ ในรูปตามลำดับ

วิธีทำ:
จากสมมาตรเชิงเรขาคณิตของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลาง $O$ กับจุดยอดแต่ละจุดจะแบ่งรูปหกเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูปที่เท่ากันทุกประการ
- เวกเตอร์ที่เท่ากับ $\vec{OA}$: มีนอร์มเท่ากับ 1 ทิศทางชี้จาก $O$ ไปยัง $A$ สังเกตส่วนของเส้นตรงที่ขนานกันในรูป: $\vec{DO}, \vec{CB}, \vec{EF}$ ล้วนมีความยาวเท่ากันและทิศทางเดียวกัน ดังนั้นคือ $\vec{DO}, \vec{CB}, \vec{EF}$
- เวกเตอร์ที่เท่ากับ $\vec{OB}$: ในทำนองเดียวกันจะได้ $\vec{EO}, \vec{DC}, \vec{FA}$
- เวกเตอร์ที่เท่ากับ $\vec{OC}$: ในทำนองเดียวกันจะได้ $\vec{FO}, \vec{ED}, \vec{AB}$

2. จงเขียนเวกเตอร์ทั้งหมดในรูปที่ร่วมเส้นกับ $\vec{AB}$

วิธีทำ:
เวกเตอร์ร่วมเส้นคือเวกเตอร์ขนาน ซึ่งทิศทางอาจเหมือนกันหรือตรงกันข้ามก็ได้ ส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับส่วนของเส้นตรง $AB$ มีเส้นทแยงมุม $FC$ และด้าน $ED$
ดังนั้น เวกเตอร์ร่วมเส้นประกอบด้วย:$\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{OC}, \vec{CO}, \vec{FO}, \vec{OF}, \vec{FC}, \vec{CF}, \vec{ED}, \vec{DE}$

✨ ประเด็นสำคัญ

มีทั้งขนาดและมีทิศทาง,ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางใช้เป็นตัวแทนขนานร่วมเส้นไปด้วยกัน,นอร์มเท่ากับหนึ่งหนึ่งหน่วย!

💡 การเขียนแทนเวกเตอร์สองแบบ

ในการพิมพ์มักใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กตัวหนา $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ แต่เมื่อเขียนด้วยมือหรือตอบคำถาม ต้องใส่ลูกศรไว้เหนือตัวอักษร $\vec{a}$ เสมอ

💡 ลำดับของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

ในการเขียนส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง จุดเริ่มต้นต้องเขียนไว้หน้าจุดสิ้นสุดเสมอ ตัวอย่างเช่น $\vec{AB}$ หมายถึงจาก $A$ ไป $B$ ส่วน $\vec{BA}$ หมายถึงจาก $B$ ไป $A$ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่แตกต่างกันสองตัว

💡 เวกเตอร์เท่ากัน vs จำนวนเท่ากัน

การที่เวกเตอร์เท่ากันมีคุณสมบัติสองประการคือ "ขนาดเท่ากัน" และ "ทิศทางเดียวกัน" $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ เป็นเพียงความเท่ากันในเชิงจำนวน ไม่สามารถสรุปได้ว่า $\vec{a} = \vec{b}$

💡 คุณสมบัติการเลื่อนขนานอย่างอิสระ

เวกเตอร์ในทางคณิตศาสตร์มักหมายถึง "เวกเตอร์อิสระ" นั่นคือ ตราบใดที่ไม่เปลี่ยนทิศทางและขนาด เวกเตอร์สามารถเลื่อนขนานไปที่ใดก็ได้ในระนาบ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ร่วมเส้นไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

💡 ข้อกำหนดพิเศษของเวกเตอร์ร่วมเส้น

อย่าลืมเวกเตอร์ศูนย์ $\mathbf{0}$! มันเป็น "นักสังคม" แห่งวงการเวกเตอร์ เพราะกำหนดให้มันขนาน (ร่วมเส้น) กับเวกเตอร์ใด ๆ